Question

广西壮族自治区60年大庆期间，某商店销售一批纪念品，每个进价30元，规定销售单价不低于35元，且获利不高于70%，试销售期间发现，当销售单价定为35元时，可售出350个，销售单价每上涨1元，销售量减少10个，现商店决定提价销售，设销售量为y个，销售单价为x元．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）每个纪念品的销售单价是多少元时，商店可获利3000元？

（3）每个纪念品的销售单价定为多少元时，商店获得的利润最大？最大利润是多少元？

Answer

（1）y＝700﹣10x，（35≤x≤51）；（2）每个纪念品的销售单价是40元时，商店可获利3000元；（3）每个纪念品的销售单价定为50元时，商店获得的利润最大，最大利润是4000元．

【解析】

（1）由实际销量＝原销量﹣应价格上涨而减少的价格可得函数解析式；

（2）根据“总利润＝每个纪念品利润×销售量”列出关于x的方程，解之可得；

（3）依据（2）中的相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，再依据二次函数的性质求解可得．

（1）y与x之间的函数关系为y＝700﹣10x，（35≤x≤51）；

（2）根据题意知，（x﹣30）（700﹣10x）＝3000，

即x2﹣100x+2400＝0，

解得：x1＝40，x2＝60，

由35≤x≤51知x＝40；

（3）依题意，得：利润W＝（x﹣30）（700﹣10x）＝﹣10（x﹣50）2+4000，

∵﹣10＜0且35≤x≤51，

∴当x＝50时，最大值为4000；

答：每个纪念品的销售单价定为50元时，商店获得的利润最大，最大利润是4000元．