Question

已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．

（1）求证：CD＝CF；

（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出∠DAC＝∠BAC，根据全等三角形的判定得出△ADC≌△ABC，根据全等三角形的性质得出CD＝CB即可；

（2）根据相似三角形的性质和判定定理即可得到结论．

（1）证明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC＝∠BAC，

在△ADC和△ABC中，

∴△ADC≌△ABC（SAS），

∴CD＝CB，

∵CE⊥AB，EF＝EB，

∴CF＝CB，

∴CD＝CF；

（2）【解析】
∵△DGC∽△ADC，

∴∠DGC＝∠ADC，

∵∠ADC＝2∠HAG，

∴∠DCG＝2∠HAG，

∵∠DGC＝∠HAG+∠AHG，

∴∠HAG＝∠AHG，

∴HG＝AG，

∵∠GDC＝∠DAC＝∠FAG，∠DGC＝∠AGF，

∴△DGC∽△AGF，

∴△AGF∽△ADC，

∴＝＝，

即＝．