Question

如图，一次函数y＝k₁x+b的图象经过A（0，﹣2），B（﹣1，0）两点，与反比例函数与反比例函数y＝的图象在第一象限内的交点为M（m，4）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△AOM的面积；

（3）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y＝﹣2x﹣2；y＝﹣；（2）S△AOM＝3；（3）存在．P点坐标为（﹣11，0）．

【解析】

（1）先利用待定系数法求一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；

（2）过M点作MC⊥y轴于C，则MC＝3，根据三角形面积公式求得即可；

（3）先利用两点间的距离公式计算出AB＝，BM＝2，再证明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比计算出PB＝10，则OP＝11，于是可得到P点坐标．

（1）∵一次函数y＝k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（﹣1，0）两点，

∴，

解得，

所以一次函数解析式为y＝﹣2x﹣2；

把M（m，4）代入y＝2x﹣2得﹣2m﹣2＝4，

解得m＝﹣3，

则M点坐标为（﹣3，4），

把M（﹣3，4）代入y＝得k2＝﹣3×4＝﹣12，

所以反比例函数解析式为y＝﹣；

（2）如图，过M点作MC⊥y轴于C，则MC＝3，

∵A（0，﹣2），

∴OA＝2，

∴S△AOM＝OA•MC＝×2×3＝3；

（3）存在．

∵A（0，﹣2），B（﹣1，0），M（﹣3，4），

∴AB＝，BM＝＝2，

∵PM⊥AM，

∴∠BMP＝90°，

∵∠OBA＝∠MBP，

∴Rt△OBA∽Rt△MBP，

∴＝，即＝，

∴PB＝10，

∴OP＝11，

∴P点坐标为（﹣11，0）．