Question

如图，直线y=﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax²+x+c经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；

（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2+x+4；（2）E（3，8）；（3）点P的坐标是或或．

【解析】

（1）首先根据直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是，点C的坐标是 然后根据抛物线经过两点，求出的值是多少，即可求出抛物线的解析式．
（2）首先过过E作EG∥y轴，交直线BC于G，然后设 则 求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出 进而判断出当面积最大时，点E的坐标和面积的最大值各是多少即可．
（3）在抛物线上存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．

（1）当时，

∴,

当时，

∴

把和代入抛物线中得：

解得： ，

∴抛物线的解析式为：

（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，

设 则

∵

∴S有最大值，此时

（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；

①如解图，以AM为边时，四边形AMQP是平行四边形，由（2）可得点M的横坐标是3，

点M在直线上，点M的坐标是，又点A的坐标是，点Q的横坐标为根据点M到点Q的平移规律可知点P的横坐标为，

；

②如解图，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，

由（2）可得点M的横坐标是3，

，且点Q的横坐标为

根据点A到点Q的平移规律可知点P的横坐标为，

；

③如解图，以AM为对角线时，四边形APMQ是平行四边形，根据点M到点Q的平移规律可得点P到点A的平移规律可知点P的横坐标为，

；

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是

或或.

设问

失分原因

第一问

（1）不会利用一次函数求出B、C两点坐标；（2）没有掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法

第二问

（1）不能正确表示EG的长度；（2）不能用EG与CO表示三角形的面积；（3）二次函数的最值问题掌握不牢

第三问

（1）没有分类讨论AM为边还是为对角线而导致漏解；（2）在分类讨论AM为边或对角线

时，没有正确表示出P点与M点的坐标关系