Question

问题背景：如图1：在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120∘ ,∠B=∠ADC=90°.E、F分别是 BC,CD 上的点。且∠EAF=60° . 探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系。 小王同学探究此问题的方法是,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连结 AG,先证明△ABE≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_________；

探索延伸：如图2，若四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180° .E,F 分别是 BC,CD 上的点,且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东 70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以55 海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 75 海里/小时的速度前进2小时后, 指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E,F 处,且两舰艇之间的夹角为70° ，试求此时两舰 艇之间的距离。

Answer

问题背景：EF=BE+DF，理由见解析；探索延伸：结论仍然成立，理由见解析；实际应用：210海里.

【解析】

问题背景：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；

探索延伸：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；

实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证．

问题背景：EF=BE+DF，证明如下：

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF，

故答案为： EF=BE+DF；

探索延伸：结论EF=BE+DF仍然成立，

理由：延长FD到点G．使DG=BE，连结AG，如图2，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

实际应用：如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，

∴∠EOF=∠AOB，

又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，

∴符合探索延伸中的条件，

∴结论EF=AE+BF成立，

即EF=2×（45+60）=210（海里），

答：此时两舰艇之间的距离是210海里．