Question

定义：在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，若△DEF∽△ABC（点D、E、F的对应点分别为点A、B、C），则称△DEF是△ABC的子三角形，如图．

（1）已知：如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上动点，且AD=BE=CF．

求证：△DEF是△ABC的子三角形．

（2）已知：如图2，△DEF是△ABC的子三角形，且AB=AC，∠A=90°，若BE=，求CF和AD的长．

Answer

（1）证明见解析（2）2

【解析】

（1）只要证明△DAF≌△EBD≌△FCE，可得DE=EF=DF，推出△DEF是等边三角形，推出∠DEF=∠EDF=∠B=∠A=60°，推出△DEF∽△ABC．可得△DEF是△ABC的子三角形；

（2）如图2中，作EH⊥AB于H．首先证明△DEF是等腰直角三角形，由△DEH≌△DFA，推出AD=HE，由△BEH是等腰直角三角形，推出HE=×=1，推出AD=1，由△BDE∽△CEF，可得，由此即可求出CF.

（1）证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，

∵AD=BE=CF，

∴AF=BD=CE，

∴△DAF≌△EBD≌△FCE，

∴DE=EF=DF，

∴△DEF是等边三角形，

∴∠DEF=∠EDF=∠B=∠A=60°，

∴△DEF∽△ABC．

∴△DEF是△ABC的子三角形．

（2）如图2中，作EH⊥AB于H．

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠C=45°，

∵△DEF是△ABC的子三角形，

∴△DEF∽△ABC，

∴DE=DF，∠EDF=90°，

∴∠ADF+∠AFD=90°，∠ADF+∠EDH=90°，

∴∠EDH=∠AFD，

∵∠DHE=∠A=90°，

∴△DEH≌△DFA，

∴AD=HE，

∵△BEH是等腰直角三角形，

∴HE=×=1，

∴AD=1，

∵∠DEC=∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE，

∵∠B=∠DEF=45°，

∴△BDE∽△CEF，

∴，

∴CF=2．