Question

已知：如图1，矩形OABC的两个顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标是（8，2），点P是边BC上的一个动点，连接AP，以AP为一边朝点B方向作正方形PADE，连接OP并延长与DE交于点M，设CP＝a（a＞0）．

（1）请用含a的代数式表示点P，E的坐标．

（2）连接OE，并把OE绕点E逆时针方向旋转90°得EF．如图2，若点F恰好落在x轴的正半轴上，求a与的值．

（3）①如图1，当点M为DE的中点时，求a的值．

②在①的前提下，并且当a＞4时，OP的延长线上存在点Q，使得EQ+PQ有最小值，请直接写出EQ+PQ的最小值．

Answer

（1）P（a，2）；E（a+2，10﹣a）；（2）a＝4，＝3；（3）①a＝2或6；②.

【解析】

（1）如图1中，作于N只要证明，即可解决问题；

（2）利用等腰直角三角形的性质，根据点E的坐标构建方程求出a，再构建一次函数求出点M坐标，即可解决问题；

（3）①求出点M坐标，根据＝，构建方程即可；

②如图4中，将绕点P顺时针旋转得到，则是等腰直角三角形．可得的中点，，作，则，推出，可得当E、Q、R共线时，的值最小，求出点R坐标即可解决问题；

【解析】
（1）如图1中，作于N．

∵B，

∴BC＝8，，∵，

∴

∵四边形OABC是矩形，四边形ADEP是正方形，

∴，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）如图2中，

由题意：△EOF是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∴a＝4，,

∴直线OP的解析式为，直线DE的解析式为，

由 ，解得，

∴，

∴，

∴．

（3）①如图3中，作于K．

由，可得，，

∴EK＝1，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

整理得：，

解得或6．

②如图4中，将绕点P顺时针旋转得到，则是等腰直角三角形．

由题意a＝6，，

∴的中点，

∵，

∴，作，则，

∴，

∴当E、Q、R共线时，的值最小，

∵直线PR的解析式为，

∵，

∴直线ER的解析式为，

由 ，解得，

∴，

∴，

∴的最小值为．