Question

如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．

（1）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（不需证明）；

（2）如图②，如果∠ACB不是直角，其他条件不变，那么在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer

（1）FE=FD （2）答案见解析

【解析】

（1）先在AC上截取AG=AE，连结FG，利用SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠AFE=∠AFG，FE=FG，再利用ASA判定△CFG≌△CFD，得到FG=FD，进而得出FE=FD；

（2）先过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，则∠FGE=∠FHD=90°，根据已知条件得到∠GEF=∠HDF，进而判定△EGF≌△DHF（AAS），即可得出FE=FD．也可以过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，再判定△EFG≌△DFH（ASA），进而得出FE=FD．

（1）FE与FD之间的数量关系为：FE=FD．

理由：如图，在AC上截取AG=AE，连结FG，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠2，

在△AEF与△AGF中

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，

∵∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，

∴2∠2+2∠3+∠B=180°，

∴∠2+∠3=60°，

又∵∠AFE为△AFC的外角，

∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°，

∴∠CFG=180°-60°-60°=60°，

∴∠GFC=∠DFC，

在△CFG与△CFD中，

，

∴△CFG≌△CFD（ASA），

∴FG=FD，

∴FE=FD；

（2）结论FE=FD仍然成立．

如图，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，则∠FGE=∠FHD=90°，

∵∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，

∴∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心，

∴∠GEF=∠BAC+∠3=∠1+∠2+∠3=60°+∠1，

∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，

∴FG=FH，

又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1，

∴∠GEF=∠HDF，

在△EGF与△DHF中，

，

∴△EGF≌△DHF（AAS），

∴FE=FD．