Question

如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标分别为A（0，a）、B（b，a），且a，b满足：（a-3）²+=0，现同时将点A、B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD、AB．

（1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积S_{四边形ABDC}；

（2）在y轴上是否存在点M，连接MC、MD，使S_△MCD=_{四边形ABDC}？若存在这样的点，求出点M的坐标；若不存在，试说明理由．

（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA、PO，当点P在BD上移动时（不与B、D重合），的值是否发生变化，并说明理由．

Answer

（1）S四边形ABDC=15；（2）存在点M（0，6）或（0，-6），使S△MCD=S四边形ABDC ，见解析；（3）不变，见解析.

【解析】

（1）由偶次方及算术平方根的非负性可求出a、b的值，进而即可得出点A、B的坐标，再根据平移的性质可得出点C、D的坐标以及四边形ABDC为平行四边形，套用平行四边形的面积公式即可求出四边形ABDC的面积；

（2）设存在点M（0，y），根据三角形的面积结合S△MCD=S四边形ABDC，即可得出关于y的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；

（3）过P点作PE∥AB交OC与E点，根据平行线的性质得∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，故比值为1．

【解析】
（1）∵（a-3）2+=0，

∴a=3，b=5，

∴点A（0，3），B（5，3）．

将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，得到点C、D，

∴点C（-1，0），D（4，0）．

由AB平移得出CD可知，AB∥CD，且AB=CD=5，

∴四边形ABDC为平行四边形，

∴S四边形ABDC=5×3=15．

（2）设存在点M（0，y），

根据题意得：S△MCD=×5|y|=S四边形ABDC=15，

∴×5|y|=15，解得：y=±6，

∴存在点M（0，6）或（0，-6），使S△MCD=S四边形ABDC．

（3）当点P在BD上移动时，=1不变，理由如下：

过点P作PE∥AB交OA于E．

∵CD由AB平移得到，则CD∥AB，

∴PE∥CD，

∴∠BAP=∠APE，∠DOP=∠OPE，

∴∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，

∴=1．