Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，﹣1）是反比函数y＝图象上的一点，过B点的一次函数y＝﹣x+b与反比例函数交于另一点A．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△AOB面积；

（3）在A点左边的反比例函数图象上求点P，使得S_△POA：S_△AOB＝3：2．

Answer

（1）y＝﹣x+2；y＝﹣；（2）S△AOB＝4；（3）P（﹣2﹣，3﹣6）．

【解析】

（1）根据已知点的坐标求出函数解析式（2）先求A点和C点的坐标，再根据三角形的面积公式计算面积（3）先做辅助线，再设点P坐标，列出一元二次方程解方程即可得到结果.

【解析】
（1）∵一次函数y＝﹣x+b过B（3，﹣1），

∴﹣3+b＝﹣1，b＝2，

∴一次函数表达式为y＝﹣x+2；

∵B（3，﹣1）是反比函数y＝图象上的一点，

∴k＝3×（﹣1）＝﹣3，

∴反比例函数的表达式为；

（2）由，解得或，

∴A（﹣1，3）．

如图，设直线y＝﹣x+2与y轴交于点C，则C（0，2），

∴S△AOB＝S△AOC+S△COB

＝×2×1+×2×3

＝1+3

＝4；

（3）如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点P作PN⊥x轴于点N，

则S△AOM＝S△PON＝．

∵S△POA+S△PON＝S梯形AMNP+S△AOM，

∴S△POA＝S梯形AMNP，

∵S△POA：S△AOB＝3：2，

∴S△POA＝S△AOB＝×4＝6．

设P（x，﹣），而A（﹣1，3），

∴S梯形AMNP＝（NP+AM）•MN＝6，

∴（﹣+3）•（﹣1﹣x）＝6，

整理，得x2+4x﹣1＝0，

解得x＝﹣2±，

∵点P在A点左边，

∴x＜﹣1，

∴x＝﹣2﹣，

∴P（﹣2﹣，3﹣6）．