Question

如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE＝AP＝2，PB＝2．则正方形ABCD的面积是_____．

Answer

16+4

【解析】

首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB，可得∠ADP＝∠ABE，∠DOA＝∠BOE，可证BE⊥DE，过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，如图1，由勾股定理可求EF的长，即可求解．

如图1：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠BAD＝90°，

∵∠PAE＝90°，

∴∠DAP＝∠BAE，

在△APD与△AEB中，

∴△APD≌△AEB（SAS），

∴∠ADP＝∠ABE，∠DOA＝∠BOE，

∵∠ADP+∠DOA＝90°，

∴∠ABE+∠BOE＝90°，

∴∠DEB＝90°，

过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，如图2：

在△AEP中，AE＝AP＝2，根据勾股定理得PE＝2，

在△BEP中，PB＝2，PE＝2，

根据勾股定理得：BE＝，

∵∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，

∴∠EBF＝45°，

∵BF⊥AF，

∴EF＝BF

∴EF＝BF＝，

∴AF＝2+，

∴正方形ABCD的面积＝AB2＝AF2+BF2＝16+4

故答案为：16+4