Question

若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝3，BC＝4，请直接写出所有满足条件的AC的长；

（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；

（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求出的值．

Answer

(1) 2或 或 （负根已经舍弃）．

【解析】

（1）根据比例三角形的定义分AB2＝BC•AC、BC2＝AB•AC、AC2＝AB•BC三种情况分别代入计算可得；

（2）先证△ABC∽△DCA得CA2＝BC•AD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD即可得；

（3）作AH⊥BD，由AB＝AD知BH＝BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC＝BH•DB，即AB•BC＝BD2，结合AB•BC＝AC2知BD2＝AC2，据此可得答案；

（1）设AC＝m．

由题意m2＝3×4或32＝4m或42＝3m，

∴m＝2或或（负根已经舍弃）．

（2）∵AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵∠BAC＝∠ADC，

∴△ADC∽△CAB，

∴，

∴AD•BC＝AC2，

∵AD∥BC，

∴∠CBD＝∠ADB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

∴AB•BC＝AC2，

∴△ABC是比例三角形．

（3）如图2中，作AH⊥BD．

可证△ABH∽△DBC，

∴＝，

∴AB•BC＝BH•BD，

∵AB＝AD，AH⊥BD于H，

∴BH＝DH＝BD，

∴BD＝2BH，

∴AB•BC＝BD2，

∵AB•BC＝AC2，

∴AC2＝BD2，

∵AC＞0，BD＞0，

∴＝，