Question

如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，作底角∠ABC的平分线BD交AC于点D，易得等腰△BCD，作等腰△BCD底角∠BCD的平分线CE，交BD于点E，得等腰△CDE，再作等腰△CDE底角∠CDE的平分线DF，交于CE于点F，…，若已知AB=b，BC=a，记△ABC为第一个等腰三角形，△BCD为第二个等腰三角形…，则的值为_____；第n个等腰三角形的底边长为_____．（含有b的代数式表示）

Answer

【解析】

先证△ABC∽△BCD，求出△BCD与△ABC的相似比为，求出第二个三角形的底边长为，依次推出第三个三角形的底边长…，第n个三角形的底边长即可．

∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（180°﹣36°）=72°．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD∠ABC=36°，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，

∴AD=BD=BC，△ABC∽△BCD，

∴，

∵AB=AC=b，BC=BD=a，

∴，

∴a2+ab﹣b2=0，

∴a（取正值），

∴，

同理可证，第3个三角形与第2个三角形的相似比为，第3个三角形的底边长为（）2b……，

第n个三角形与第（n﹣1）个三角形的相似比为，第n个三角形的底边长为（）（n﹣1）b．

故答案为：；（）（n﹣1）b．