Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．

（1）求证：AE=EF；

（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？　　；（填“成立”或“不成立”）；

（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）成立；（3）成立，证明见解析.

【解析】

试题（1）取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；

（2）截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；

（3）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．

试题解析：（1）证明：取AB中点M，连接EM，

∵AB=BC，E为BC中点，M为AB中点，

∴AM=CE=BE，

∴∠BME=∠BME=45°，

∴∠AME=135°=∠ECF，

∵∠B=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

在△AME和△ECF中，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE=EF；

（2）成立，

理由是：如图，在AB上截取BM=BE，连接ME，

∵∠B=90°，

∴∠BME=∠BEM=45°，

∴∠AME=135°=∠ECF，

∵AB=BC，BM=BE，

∴AM=EC，

在△AME和△ECF中，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE=EF；

（3）成立．

证明：如图，在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE，

∴BN=BE，

∴∠N=∠NEC=45°，

∵CF平分∠DCG，

∴∠FCE=45°，

∴∠N=∠ECF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，

∴∠NAE=∠CEF，

∴△ANE≌△ECF（ASA），

∴AE=EF．