Question

已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处. 如图，已知折痕与边交于点，连结.

（1）求证：；

（2）若，求边的长.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）根据矩形及折叠的性质可得出∠APO＝∠B＝90°，∠C＝∠D＝90°，由同角的余角相等可得出∠DAP＝∠CPO，结合∠C＝∠D＝90°即可证出△OCP∽△PDA；
（2）根据折叠的性质可得出，由相似三角形的性质可得出，结合AD＝8可得出CP＝4，设BO＝x，则CO＝8−x，PD＝2(8−x)，由AB＝CD，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入AB＝2x中即可求出结论．

（1）证明：∵四边形为矩形，

∴.

由折叠，可知：，

∴.

∵，

∴，

∴；

（2）由折叠，可知：，

.

∵，

∴

∵，

∴.

设，则，

∴，

解得：，

∴.