Question

某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：

（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；

（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元

（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

Answer

（1）y＝﹣2x+260；（2）销售单价为80元；（3）销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．

【解析】

（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．

（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数）

将点（50，160），（80，100）代入得

解得

∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260

（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000

化简得：x2﹣180x+8000＝0

解得：x1＝80，x2＝100

∵x≤50×（1+90%）＝95

∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去）

答：销售单价为80元．

（3）设每天获得的利润为w元，由题意得

w＝（x﹣50）（﹣2x+260）

＝﹣2x2+360x﹣13000

＝﹣2（x﹣90）2+3200

∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下

∴w有最大值，当x＝90时， w最大值＝3200

答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．