Question

如图1，在中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点.

（1）观察猜想

图1中，线段与的数量关系是________，的度数是________；

（2）探究证明

把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的取值范围.

Answer

（1）;；（2）是等边三角形；理由见解析；（3）.

【解析】

（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=12，再判断出BD最小时，△PMN最小，即可得出结论．

【解析】
（1）∵点是的中点，

∴，

∵点是的中点，

∴，

∵，

∴，

∴;

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴.

故答案为：，.

（2）是等边三角形.

由旋转知， ，

∵，

∴，

∴，

利用三角形的中位线得，，

∴，

∴是等腰三角形，

同（1）的方法得， ，

∴，

同（1）的方法得，，

∴，

∵，

∴

，

∵，

∴，

∴，

∴是等边三角形；

（3）由（2）知， 是等边三角形，，

∴最大时， 面积最大，

最小时， 的面积最小.

∴点在的延长线上， 的面积最大，

∴，

∴，

∴.

当点在线段上时， 的面积最小，

∴，

∴，

∴.

∴.