Question

如图1，是⊙O内接等边三角形，直线MN与⊙O相切于A点，P是弧BC的中点，则.

（1）如图2，正方形ABCD是⊙O内接正方形，直线MN与⊙O相切于A点，P是弧BC的中点，则________；

（2）如图3，若正n边形ABC……PQ是⊙O内接正n边形，直线MN与⊙O相切于A点，P是弧BC的中点，若的度数小于，则n的最小值是_______.

Answer

（1）；（2）10

【解析】

（1）连接OP、OB，如图4，由题意可得∠COB=90°，进而可得∠COP的度数，再根据圆周角定理可得∠CAP的度数，然后用90°减去∠CAP即为所求；

（2）如图5，连接OC、OP、OB，则∠AOB=∠BOC=，根据三角形的内角和定理和圆周角定理可用含n的代数式求出∠BAM和∠PAB，即得∠PAM，然后根据题意可得关于n的不等式，解不等式即可求得n的范围，进一步即可求出结果.

【解析】
（1）连接OP、OB，如图4，∵正方形ABCD是⊙O内接正方形，∴∠COB=90°，

∵P是弧BC的中点，∴∠COP=45°，∴∠CAP==22.5°，

∴∠CAM－∠CAP=90°－22.5°=67.5°；

（2）如图5，连接OC、OP、OB，则OA=OB，∠AOB=∠BOC=，

∴，

∴，

∵P是弧BC的中点，∴，

∴，

∴，

∵，∴，解得：，

由于n为整数，所以n的最小值为10.

故答案为：（1）；（2）10.