Question

已知的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于D、E、F，若，如图1.

（1）判断的形状，并证明你的结论；

（2）连接AE，若，求AE的长.

Answer

（1）为等腰三角形，见解析；（2）

【解析】

（1）根据圆心角和弧的关系、切线的性质和四边形的内角和易证得：，，，进一步即可进行判断；

（2）先根据切线长定理和（1）题的结论得出CE＝BE，再由等腰三角形的性质可得AE⊥BC，然后由OE⊥BC说明A、O、E三点共线，再根据勾股定理即可求出结果.

【解析】
（1）为等腰三角形.

证明：的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于D、E、F，

，

四边形内角和是，，，

∵，，

，∴，

为等腰三角形；

（2）∵的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于D、E、F，

∴AF=AD，CE=CF，BD=BE，

∵AC＝AB，∴CF=BD，∴CE＝BE，

连接AE，如图，∴AE⊥BC，

又∵OE⊥BC，

∴AE过圆心O，

∵，

∴FC=CE=2，AC=6，

在直角△ACE中，由勾股定理得.