Question

如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，在AC边上取点O画圆，使⊙O经过A、B两点，下列结论中：①AO＝BC；②AO＝2CO；③延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点；④以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切.正确的序号是______.

Answer

.②③④

【解析】

连接OB，可得∠ABO＝30°，则∠OBC＝30°，根据三角函数cos∠OBC＝，则BC＝OB，根据直角三角形的性质得OC＝OB＝OA，根据垂径定理，得直线AC是弦BD的垂直平分线，则点A、B、D将⊙O的三等分，因为点O在∠ABC的角平分线上，所以点O到直线AB的距离等于OC的长.

【解析】
连接OB，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠ABO，

∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠ABO＝∠A＝30°，

∴∠OBC＝30°，

∵cos∠OBC＝，

∴BC＝OB，

即BC＝OA，

故①错误，

∵∠OBC＝30°，

∴OC＝OB＝OA，

即OA＝2OC，

故②正确；

延长BC交⊙O于D，

∵AC⊥BD，

∴AD＝AB，

∴△ABD为等边三角形，

∴＝＝，

∴点A、B、D将⊙O的三等分；

故③正确；

∵∠ABO＝∠OBC＝30°，

∴点O在∠ABC的角平分线上，

∴点O到直线AB的距离等于OC的长，

即以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切.

故④正确.

故答案为：②③④.