Question

如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，AC是⊙O的切线，C为切点.AD＝CD，

(1)求证：AC＝BC；

(2)若⊙O的半径为1，求△ABC的面积.

Answer

(1)证明见解析；(2)S△ABC＝.

【解析】

(1)连接OC，证得∠1＝∠2，可得∠A＝∠B，则结论得证；

(2)易证∠A＝∠B＝∠1＝∠2＝30°，即可求得AC的长，作CE⊥AB于点E，求得CE的长，利用三角形面积公式求解.

(1)证明：连接OC，

∵AC为切线，C为切点，

∴∠ACO＝90°，

即∠DCO+∠2＝90°，

又∵BD是直径，

∴∠BCD＝90°，

即∠DCO+∠1＝90°，

∴∠1＝∠2，

∵AD＝CD，OB＝OC，

∴∠A＝∠2，∠B＝∠1，

∴∠A＝∠B，

∴AC＝BC；

(2)【解析】
由题意可得△DCO是等腰三角形，

∵∠CDO＝∠A+∠2，∠DOC＝∠B+∠1，

∴∠CDO＝∠DOC，即△DCO是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠1＝∠2＝30°，CD＝AD＝1，

∴BC＝＝＝，

在Rt△BCD中，作CE⊥AB于点E，

在Rt△BEC中，∠B＝30°，

∴CE＝，BE＝，

∴S△ABC＝＝.