Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝8，点O是AB的中点.将一个边长足够大的Rt△DEF的直角顶点E放在点O处，并将其绕点O旋转，始终保持DE与AC边交于点G，EF与BC边交于点H.

(1)当点G在AC边什么位置时，四边形CGOH是正方形.

(2)等腰直角三角ABC的边被Rt△DEF覆盖部分的两条线段CG与CH的长度之和是否会发生变化，如不发生变化，请求出CG与CH之和的值：如发生变化，请说明理由.

Answer

(1)点G在AC的中点时，四边形CGOH是正方形；(2)CG与CH的和不会发生变化，CG+CH＝8.

【解析】

(1)由三角形中位线定理可得OG∥BC，OG＝BC，可证四边形CGOH是矩形，由等腰直角三角形的性质可得∠ACO＝∠COG＝45°，可得CG＝GO，可得结论；

(2)由“ASA”可证△GOC≌△HOB，可得CG＝BH，即可得CG+CH＝HB+CH＝BC＝8.

【解析】
(1)当点G在AC的中点时，四边形CGOH是正方形，

连接CO，

∵O为AB的中点，点G是AC中点，

∴OG∥BC，OG＝BC，

∴∠CGO＝∠C＝90°，

∵∠GOF＝90°，

∴四边形CGOH是矩形，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AO＝BO，

∴∠ACO＝45°，且∠CGO＝90°，

∴∠ACO＝∠COG＝45°，

∴CG＝GO，

∴矩形CGOH是正方形；

(2)CG与CH的和不会发生变化，

理由如下：

连接OC，

∵△ABC是等腰直角三角形且点O为中点

∴∠GCO＝∠B＝45°，∠COB＝90°，CO＝BO

∵∠DOF＝90°＝∠COB，

∴∠GOC＝∠HOB，且CO＝BO，∠GCO＝∠B＝45°，

∴△GOC≌△HOB(ASA)

∴HB＝GC，

∴CG+CH＝HB+CH＝BC

∵AB＝8，

∴BC＝AC＝8

∴CG+CH＝8.