Question

抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，C点的坐标为(0，﹣2)，连接BC，以BC为边，点O为对称中心作菱形BDEC.点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M.

(1)求抛物线的解析式.

(2)x轴上是否存在一点P，使三角形PBC为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由.

Answer

(1)y＝x2﹣x﹣2；(2)存在，点P的坐标为：(，0)或(4+2，0)或(4﹣2，0)或(﹣4，0)；(3)m＝1.理由见解析

【解析】

(1)抛物线与x轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)两点，故抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣4)＝a(x2﹣3x﹣4)，将C点坐标代入，即可得：﹣4a＝﹣2，解得：a＝，即可求解；

(2) 设点P的坐标为(m，0)，根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式分别求出PC2、PB2和BC2，然后分PB＝PC、PB＝BC、PC＝BC三种情况，分别求解即可；

(3)直线BD的解析式为y＝﹣x+2；如图，当MQ＝DC时，四边形CQMD是平行四边形，则(﹣m+2)﹣(m2﹣m﹣2)＝2﹣(﹣2)，即可求解.

【解析】
(1)由题意可设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx﹣2，

∵抛物线与x轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)两点，

故抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣4)＝a(x2﹣3x﹣4)，

即﹣4a＝﹣2，解得：a＝，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；

(2)设点P的坐标为(m，0)，

则PB2＝(m﹣4)2，PC2＝m2+4，BC2＝20，

①当PB＝PC时，(m﹣4)2＝m2+4，解得：m＝；

②当PB＝BC时，(m﹣4)2＝20：m＝4±2；

③当PC＝BC时，m2+4＝20：m＝±4(当m=4时，P、B重合，故舍去4)，

故点P的坐标为：(，0)或(4+2，0)或(4﹣2，0)或(﹣4，0)；

(3)∵C(0，﹣2)

∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为(0，2)，

设直线BD的解析式为y＝kx+2，又B(4，0)

解得k＝﹣1，

∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2；

则点M的坐标为(m，﹣m+2)，点Q的坐标为(m，m2﹣m﹣2)，

如图，当MQ＝DC时，四边形CQMD是平行四边形

∴(﹣m+2)﹣(m2﹣m﹣2)＝2﹣(﹣2)，

解得m1＝0(不合题意舍去)，m2＝1，

∴当m＝1时，四边形CQMD是平行四边形.