Question

已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD．

（1）如图1，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；

（2）如图2，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．

Answer

（1）BD＝CD＝6；（2）BD= ;CD=.

【解析】

（1）由AD经过圆心O，利用圆周角定理得∠ACD＝∠ABD＝90°，又因为AB⊥AC，且AB＝AC＝6，证得四边形ABCD为正方形，即可得出结果；

（2）连接OC，OB，OD，由∠BAD＝2∠DAC，AB⊥AC，由圆周角定理得BC为直径，可得∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，BO＝CO＝DO＝BC＝3，由圆周角定理得∠COD＝60°，∠BOD＝120°，△COD为等边三角形，求得CD，BD．

【解析】
（1）∵AD经过圆心O，

∴∠ACD＝∠ABD＝90°，

∵AB⊥AC，且AB＝AC＝6，

∴四边形ABCD为正方形，

∴BD＝CD＝AB＝AC＝6；

（2）连接OC，OB，OD，过O点作OE⊥BD垂足为E，

∵AB⊥AC，AB＝AC＝6，

∴BC为直径，

∴BC＝6，

∴BO＝CO＝DO＝BC＝3，

∵∠BAD＝2∠DAC，

∴∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，

∴∠COD＝60°，∠BOD＝120°，

∴△COD为等边三角形，∠BOE＝60°，

∴CD＝CO＝DO＝3，

在直角三角形CDB中，BD＝CD＝3，

则BE＝，

∵OE⊥BD，

∴BD＝2BE＝3．