Question

已知二次函数y＝x²+bx+c（b，c为常数）．

（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；

（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；

（Ⅲ）当c＝5时，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣5，求b的值

Answer

（Ⅰ）-4；（Ⅱ）y＝x2+4x+5或y＝x2﹣4x+5；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）利用配方法得到y＝（x+1）2﹣4，然后根据二次函数的性质解决问题；

（Ⅱ）二次函数解析式为y＝x2+bx+5，把问题转化为x2+bx+5＝1有两个相等的实数解，然后根据判别式的意义确定b的值，从而得到此时二次函数的解析式；

（Ⅲ）利用配方法得到y＝（x+）2+5﹣，则抛物线的对称轴为直线x＝﹣，讨论：若﹣≤1，根据二次函数的性质得到x＝1时，y＝﹣5，把这组对应值代入解析式求得的b不满足条件；若1＜﹣＜3，利用二次函数的性质当x＝﹣时5﹣＝﹣5，求得的b不满足条件；若﹣≥3，解得b≤﹣6，利用二次函数的性质得到x＝3时，y＝﹣5，把这组对应值代入解析式可求出b的值．

【解析】
（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，

∵y＝（x+1）2﹣4，

∴当x＝﹣1时，y有最小值﹣4；

（Ⅱ）当c＝5时，二次函数解析式为y＝x2+bx+5，

∵在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，

∴x2+bx+5＝1有两个相等的实数解，

方程整理为x2+bx+4＝0，

∵△＝b2﹣4×4＝0，解得b＝4或﹣4，

∴此时二次函数的解析式为y＝x2+4x+5或y＝x2﹣4x+5；

（Ⅲ）当c＝5时，二次函数解析式为y＝x2+bx+5，

∵y＝（x+）2+5﹣，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，

若﹣≤1，解得b≥﹣2，在1≤x≤3范围内y随x的增大而增大，则x＝1时，y＝﹣5，

∴1+b+5＝﹣5，解得b＝﹣11（舍去）；

若1＜﹣＜3，即﹣6＜b＜﹣2，在1≤x≤3范围内，当x＝﹣时y有最小值﹣5，即5﹣＝﹣5，解得b＝﹣2（舍去）或b＝2（舍去）；

若﹣≥3，解得b≤﹣6，在1≤x≤3范围内y随x的增大而减下，则x＝3时，y＝﹣5，

∴9+3b+5＝﹣5，解得b＝﹣；

综上所述，b的值为﹣.