Question

如图，在中，，，是边上点（点与，不重合），连结，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得到线段，连结交于点，连接．

（1）求证：；

（2）当时，求的度数；

（3）若，，求的长．

Answer

(1)见解析;(2);(3)

【解析】

（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）
（2）由△ACD≌△BCE可得∠A=∠CBE=45°，AD=BE=BF，从而可求出∠BEF的度数；
（3）根据∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°，可得△DBE是直角三角形，由勾股定理可求出DE的长，进而可求出CD的长．

（1）证明：由题意可知：，，

∵，

∴，

，

∴，

在与中，

，

∴

（2）∵，，

∴，

∵

∴，AD=BE；

∵，

∴，

∴；

（3）∵，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴是直角三角形，

∴，

∵是等腰直角三角形，

∴

∴．