Question

如图，抛物线y＝ax²+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；

（3）点F在抛物线上运动，是否存在点F，使△BFC的面积为6，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）2；（3）存在，理由见解析.

【解析】

（1）抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），则c=3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b=2，即可求解；
（2）函数的对称轴为：x=1，则点D（1，4），则BE=2，DE=4，即可求解；
（3）△BFC的面积=×BC×|yF|=2|yF|=6，解得：yF=±3，即可求解．

【解析】
（1）抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），

则c＝3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）函数的对称轴为：x＝1，则点D（1，4），

则BE＝2，DE＝4，

BD＝＝2；

（3）存在，理由：

△BFC的面积＝×BC×|yF|＝2|yF|＝6，

解得：yF＝±3，

故：﹣x2+2x+3＝±3，

解得：x＝0或2或1，

故点F的坐标为：（0，3）或（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；