Question

探究题：观察下列各式：①；②；③.

（1）猜想的变形结果并验证；

（2）针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明.

Answer

（1）猜想，验证见解析；（2），证明见解析

【解析】

（1）注意观察左边的被开方数是一个带分数，其分数部分的分子是1，分母比其整数部分大2．右边的结果根号外的比左边的整数部分大1，根号内的是左边的分数部分，据此写出猜想，然后利用二次根式的性质进行验证；
（2）注意观察左边的被开方数是一个带分数，其分数部分的分子是1，分母比其整数部分大2．右边的结果根号外的比左边的整数部分大1，根号内的是左边的分数部分，据此写出规律，然后利用二次根式的性质进行验证．

（1）猜想，

验证：左边右边，故等式成立；

（2）根据规律可得：，

证明：左边右边，

故等式成立.