Question

定义：角的内部一点到角两边的距离比为1：2，这个点与角的顶点所连线段称为这个角的二分线．如图1，点P为∠AOB内一点，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，且PB＝2PA，则线段OP是∠AOB的二分线．

（1）图1中，OP为∠AOB的二分线，PB＝4，PA＝2，且OA+OB＝8，求OP的长；

（2）如图2，正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC中点，证明：DE是∠ADC的二分线；

（3）如图3，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，且∠CAB＜∠CAD，∠BDC＜∠BDA，若AC，BD分别是∠DAB，∠ADC的二分线，证明：四边形ABCD是矩形．

Answer

（1）OP＝；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）设OA=a，OB=b，则a+b=8 ①，根据勾股定理可得b2+16=a2+4 ②，联立①②可求a，b的值，即可求OP的长；

（2）过点E作EF⊥AD于点F，证明四边形CDFE为矩形可得FE＝CD＝2，再根据CE＝1可得FE＝2CE.由此结论可证；

（3）分别过点C，B作CM⊥直线AD于点M，BN⊥直线AD于点N，根据角的二分线的定义可得BN=CM=2BC，通过证明四边形NBCM是矩形，可得∠NBC=∠MCB=90°，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得点N与点A重合，点D与点M重合，可得四边形ABCD是矩形．

（1）设OA＝a，OB＝b，

则a+b＝8 ①，

∵PA⊥OA，PB⊥OB，

∴OP2＝OB2+BP2＝OA2+AP2，

∴b2+16＝a2+4 ②，

由①②组成方程组，

解得：

∴OP2＝OB2+BP2＝

∴OP＝

（2）如图，过点E作EF⊥AD于点F，

在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，

∴四边形CDFE为矩形，

∴FE＝CD＝2，

∵点E为BC中点，

∴CE＝1，

∴FE＝2CE，

∴DE是∠ADC的二分线

（3）如图，分别过点C，B作CM⊥直线AD于点M，BN⊥直线AD于点N，

∵AB∥CD，∠ABC＝90°，

∴∠BCD＝90°，

∵AC是∠DAB二分线，

∴CM＝2BC，

∵BD是∠ADC的二分线，

∴BN＝2BC，

∴BN＝CM，

∵CM⊥AD，BN⊥AD，

∴BN∥CM，

∴四边形NBCM是平行四边形，

∵CM⊥AD，

∴四边形NBCM是矩形，

∴∠NBC＝∠MCB＝90°，

∴点N与点A重合，点D与点M重合，

∴四边形ABCD是矩形