Question

如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．

（1）求证：PC是半⊙O的切线；

（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．

Answer

（1）见解析；（2）5.

【解析】

（1）、连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）、依据切线的性质定理可知OC⊥PE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可．

【解析】
（1）、连接OC，

∵OD⊥AC，OD经过圆心O，

∴AD=CD，

∴PA=PC，

在△OAP和△OCP中，，

∴△OAP≌△OCP（SSS），

∴∠OCP=∠OAP

∵PA是⊙O的切线，

∴∠OAP=90°．

∴∠OCP=90°，

即OC⊥PC

∴PC是⊙O的切线．

（2）、∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=30°，

∴∠COF=60°，

∵PC是⊙O的切线，AB=10，

∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，

∴OF==10，

∴BF=OF﹣OB=5．