Question

已知正方形的每个角等于90°，请解决下列问题：

(1)如图1，将两个正方形的一个顶点O重合放置，若∠AOD＝50°，求∠COB的度数；

(2)如图2，将三个正方形的一个顶点O重合放置，若∠EOC＝40°，∠BOF＝30°，求∠AOD的度数；

(3)如图3，将三个正方形的一个顶点O重合放置，若OF平分∠DOB，那么OE平分∠AOC吗？为什么？

Answer

(1)∠COB＝130°；(2)∠AOD=20°；(3) OE平分∠AOC，证明见解析.

【解析】

(1)根据正方形各角等于90°，得出∠COD+∠AOB＝180°，再根据∠AOD＝50°，∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD，即可得出答案；

(2)根据已知得出∠1+∠2，∠1+∠3的度数，再根据∠1+∠2+∠3＝90°，最后用∠1+∠2+∠1+∠3﹣(∠1+∠2+∠3)，即可求出∠1的度数；

(3)根据∠COD＝∠AOB和等角的余角相等得出∠COA＝∠DOB，∠EOA＝∠FOB，再根据角平分线的性质得出∠DOF＝∠FOB＝∠DOB和∠EOA＝∠DOB＝∠COA，从而得出答案.

(1)∵两个图形是正方形，

∴∠COD＝90°，∠AOB＝90°，

∴∠COD+∠AOB＝180°，

∵∠AOD＝50°，

∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝130°；

(2) 如图：∵∠COD＝90°，∠AOB＝90°，∠EOF=90°，

∴∠COE+∠2+∠1=90°，∠2+∠1+∠3=90°，∠1+∠2+∠BOF=90°，

又∵∠EOC＝40°，∠BOF＝30°，

∴∠1+∠2=50°①，∠1+∠3=60°②，

又∠1+∠2+∠3＝90°③，

①+②﹣③得：∠1＝20°；

(3)OE平分∠AOC，理由如下：

∵∠COD＝∠AOB=90°，

∴∠COD-∠AOD=∠AOB-∠AOD，

即∠COA＝∠DOB，

同理：∠EOA＝∠FOB，

∵OF平分∠DOB，

∴∠DOF＝∠FOB＝∠DOB，

∴∠EOA＝∠DOB＝∠COA，

∴OE平分∠AOC.