Question

如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且.

（1）求证：是等腰三角形；

（2）若，求的周长.

Answer

（1）见解析；（2） 的周长为.

【解析】

(1)根据平分线的性质证明∠B=∠DAE,∠C=∠CAE,然后结合角平分线的定义可证明∠B=∠C,故此可证明△ABC为等腰三角形.

(2)证明△AEF≌△CFG,从而得到CG的长,然后可求得BC的长,于是可求得△ABC的周长.

证明：（1）∵，

∴，.

∵平分，

∴.

∴.

∴.

∴是等腰三角形.

（2）∵是的中点，

∴.

∵，

∴.

由对顶角相等可知：.

在和中，

∴.

∴.

∵，

∴.

∴.

，

∴的周长.