Question

如图①，在等边三角形ABC中．D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC．连接AE.

(l)求证：△DBC≌△EAC

(2)试说明AE∥BC的理由．

(3)如图②，当图①中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，猜想是否仍有AE∥BC?若成立请证明．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）仍有AE∥BC，理由见解析

【解析】

（1）根据△ABC与△EDC是等边三角形，利用其三边相等和三角相等的关系，求证∠BCD=∠ACE．然后即可证明结论；

（2）根据ACE≌△BCD，可得∠ABC=∠CAE=60°，利用等量代换求证∠CAE=∠ACB即可．

（3）证明△DBC≌△EAC可推出∠EAC=∠ACB，由此可证．

（1）∵∠ACB=60， ∠DCE=60，

∴∠BCD=60-∠ACD， ∠ACE=60-∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

在△DBC和△EAC中，

，

∴△DBC≌△EAC(SAS)；

（2） ∵△DBC≌△EAC，

∴∠EAC=∠B=60，

又∵∠ACB=60，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC；

（3）仍有AE∥BC，

∵△ABC，△EDC都为等边三角形，

∴BC=AC， DC=CE， ∠BCA=∠DCE=60，

∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

在△DBC和△EAC中，

，

∴△DBC和△EAC(SAS)，

∴∠EAC=∠B=60，

又∵∠ACB=60，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC.