Question

问题探究：

（1）如图①所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形则蚂蚁爬行的最短路程即为线段的长）

（2）如图②所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程．

（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．

Answer

（1）蚂蚁爬行的最短路程为5; （2）最短路程为;（3）蚂蚁爬行的最短距离为

【解析】

（1）蚂蚁爬行的最短路程为圆柱侧面展开图即矩形的对角线的长度，由勾股定理可求得；

（2）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中的AA′的连线，可求得△PAA′是等边三角形，则AA′=PA=4；

（3）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中点A到PA的距离．

（1）由题意可知：

在 中，

即蚂蚁爬行的最短路程为5．

（2）连结则的长为蚂蚁爬行的最短路程，设为圆锥底面半径，为侧面展开图（扇形）的半径，

则由题意得：

即

是等边三角形

最短路程为

（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过作于点则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程．

在Rt△ACP中，

∵∠P=60°，

∴∠PAC=30°

∴PC=PA=×4=2

∴AC==

蚂蚁爬行的最短距离为