Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．

（1）求证：EG是⊙O的切线；

（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=2，，求OM的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接OE，如图，通过证明∠GEA+∠OEA=90°得到OE⊥GE，然后根据切线的判定定理得到EG是⊙O的切线；

（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，则OC=r，OH=r-2，利用勾股定理得到，解得r=3，然后证明Rt△OEM∽Rt△CHA，再利用相似比计算OM的长．

（1）证明：连接OE，如图，

∵GE=GF，

∴∠GEF=∠GFE，

而∠GFE=∠AFH，

∴∠GEF=∠AFH，

∵AB⊥CD，

∴∠OAF+∠AFH=90°，

∴∠GEA+∠OAF=90°，

∵OA=OE，

∴∠OEA=∠OAF，

∴∠GEA+∠OEA=90°，即∠GEO=90°，

∴OE⊥GE，

∴EG是⊙O的切线；

（2）【解析】
连接OC，如图，

设⊙O的半径为r，则OC=r，OH=r-2，

在Rt△OCH中，，

解得r=3，

在Rt△ACH中，AC= ，

∵AC∥GE，

∴∠M=∠CAH，

∴Rt△OEM∽Rt△CHA，

∴ ，

即，

解得：OM=．