Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式是y=x2+x+3；（2）|MB﹣MD|取最大值为；（3）存在点P（1，6）．

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据对称性，可得MC=MD，根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B，C，M共线，根据勾股定理，可得答案；

（3）根据等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根据相似三角形的判定与性质，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得

，解得，

抛物线的解析式是y=x2+x+3；

（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，

∴对l上任意一点有MD=MC，

联立方程组 ，

解得（不符合题意，舍），，

∴B（﹣4，1），

当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，

过点B作BE⊥x轴于点E，

，

在Rt△BEC中，由勾股定理，得

BC=，

|MB﹣MD|取最大值为；

（3）存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，

在Rt△BEC中，∵BE=CE=1，

∴∠BCE=45°，

在Rt△ACO中，

∵AO=CO=3，

∴∠ACO=45°，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

过点P作PQ⊥y轴于Q点，∠PQA=90°，

设P点坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）

①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB，

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，

∴，即，

∴，

解得x1=1，x2=0（舍去），

∴P点的纵坐标为×12+×1+3=6，

∴P（1，6），

②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA，

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，

∴△PGA∽△ACB，

∴，

即=3，

∴，

解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）

∴此时无符合条件的点P，

综上所述，存在点P（1，6）．