Question

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，点P，Q分别在BC，AC上，CP＝3x，CQ＝4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．

（1）求证：PQ∥AB；

（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；

（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）6；（3）1≤x≤．

【解析】

（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明△PQC∽△BAC，再根据相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；

（2）连接AD，根据PQ∥AB和点D在∠BAC的平分线上可证∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP；·

（3）先求出当点E在AB上时x的值，再分两种情况进行分类讨论．

（1）证明：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9，

∴AC＝＝＝12．

∵＝＝，＝＝，

∴＝．

∵∠C＝∠C，

∴△PQC∽△BAC，

∴∠CPQ＝∠B，

∴PQ∥AB；

（2）【解析】
连接AD，

∵PQ∥AB，

∴∠ADQ＝∠DAB．

∵点D在∠BAC的平分线上，

∴∠DAQ＝∠DAB，

∴∠ADQ＝∠DAQ，

∴AQ＝DQ．

∵PD＝PC＝3x，QC=4x

∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x.

∴DQ＝2x．

∵AQ＝12﹣4x，

∴12﹣4x＝2x，解得x＝2，

∴CP＝3x＝6．

（3）【解析】
当点E在AB上时，

∵PQ∥AB，

∴∠DPE＝∠PGB．

∵∠CPQ＝∠DPE，∠CPQ＝∠B，

∴∠B＝∠PGB，

∴PB＝PG＝5x，

∴3x+5x＝9，解得x＝．

①当0＜x≤时，T＝PD+DE+PE＝3x+4x+5x＝12x，此时0＜T≤；

②当＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥PQ，垂足为H，

∴HG＝DF，FG＝DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，

∴＝＝．

∵PG＝PB＝9﹣3x，

∴＝＝，

∴GH＝（9﹣3x），PH＝（9﹣3x），

∴FG＝DH＝3x﹣（9﹣3x），

∴T＝PG+PD+DF+FG＝（9﹣3x）+3x+（9﹣3x）+[3x﹣（9﹣3x）]

＝x+，

此时，＜T＜18．

∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，

∴T＝12时，即12x＝12，解得x＝1；

T＝16时，即x+＝16，解得x＝．

∵12≤T≤16，

∴x的取值范围是1≤x≤．