Question

如图，抛物线y＝mx²﹣4mx+2m+1与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，与y轴交于点C，且x₂﹣x₁＝2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）E是抛物线上一点，∠EAB＝2∠OCA，求点E的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D，动点P从点B出发，沿抛物线向上运动，连接PD，过点P做PQ⊥PD，交抛物线的对称轴于点Q，以QD为对角线作矩形PQMD，当点P运动至点（5，t）时，求线段DM扫过的图形面积．

Answer

（1）；（2）（，﹣）或（，）；（3）1.

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴公式以及与x轴的交点坐标可得，又x2﹣x1＝2，可求得x1＝1，x2＝3，由此可得A，B两点坐标.将A点坐标代入抛物线解析式可求得m的值，由此可得抛物线解析式；

（2）作MN垂直且平分线段AC，交y轴与点F，连接FA.可得∠OFA=2∠OCA，所以∠OFA=∠EAB，在Rt△OFA中表示∠OFA的正切值，分点E在x轴下方和x轴上方两种情况讨论，分别构造直角三角形表示∠EAB（∠E'AB）的正切值.根据相等角的正切值相等列出方程解方程即可；

（3）连接AD，过P作PS⊥QD于点S，作PH⊥x轴于点H，过B作BI∥QD，交PS于点I，先证明M的轨迹在x轴上，当P在B点时，M在A点.点P从点B出发沿抛物线向上运动时，M在A处沿x轴向左边运动．MD扫过的面积即S△MAD，求S△MAD即可.

【解析】
（1）∵抛物线与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0）

∴抛物线对称轴直线x＝＝＝2

∴

又∵x2﹣x1＝2

∴x1＝1，x2＝3

则点A（1，0），B（3，0）

把点A（1，0）代入y＝mx2﹣4mx+2m+1中得，

m﹣4m+2m+1＝0

解得，m＝1

∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3

（2）如图①

作MN垂直且平分线段AC，交y轴与点F．连接FA，则∠OFA＝2∠OCA

由MN垂直平分AC得FC＝FA，设F（0，n），则OF＝n，OA＝1

在Rt△OAF中，由勾股定理得，AF＝＝

∴FC＝

∴OC＝OF+FC＝n+＝3

∴＝3﹣n

等式左右两边同时平方得，1+n2＝（3﹣n）2

解得，n＝

∴F（0，）

∴tan∠OFA＝＝＝

①当抛物线上的点E在x轴下方时，作EG⊥x轴于点G，并使得∠EAB＝∠OFA．

设点E（m，m2﹣4m+3），其中1＜m＜3，则tan∠EAB＝＝＝

整理得，4m2﹣13m+9＝0

解得，m1＝，m2＝1（舍去）

此时E点坐标为（，﹣）；

②当抛物线上的点E'在x轴上方时，作E'H⊥x轴于点H，并使得∠E'AB＝∠OFA．

设点E'（m，m2﹣4m+3），其中m＞3，则tan∠E'AB＝＝＝

整理得，4m2﹣19m+15＝0

解得，m3＝，m4＝1（舍去）

此时E’点坐标为（，）

综上所述，满足题意的点E的坐标可以为（，﹣）或（，）

（3）如图②，

连接AD，过P作PS⊥QD于点S，作PH⊥x轴于点H，过B作BI∥QD，交PS于点I．

设QD⊥x轴于点T，DP与x轴交于点R．

∵在矩形PQMD中，MQ∥DP

∴∠QMH＝∠MRD

又∵在△MDR中，∠MDR＝90°

∴∠DMR+∠DRM＝90°

又∵∠QMD＝∠QMR+∠DMR＝90°，R在x轴上

∴M恒在x轴上．

又∵PQ∥MD

∴∠PQS＝∠MDT．

∴在△MTD与△PSQ中，

∴△MTD≌△PSQ（AAS）

∴MT＝PS

又∵PS＝TH

∴MT＝TH

又∵AT＝TB

∴MT﹣AT＝TH﹣TB

即MA＝BH．

又∵P点横坐标为5时，易得OH＝5

∴BH＝OH﹣OB＝5﹣3＝2

∴MA＝2

又∵当P在B点时依题意作矩形PQMD，M在A点

由点P从点B由出发沿抛物线向上运动，易得M在A处沿x轴向左边运动．

∴MD扫过的面积即S△MAD

∴S△MAD＝MA•TD＝×2×1＝1．

即线段DM扫过的图形面积为1．