Question

如图，▱ABCD中，∠DAB＝45°，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连结OD，由于OA＝OD，∠BAD＝45°，所以∠AOD＝90°，根据平行四边形的性质得AD∥BC，则∠ODC＝∠AOD＝90°，于是可根据切线的判定定理证明CD为⊙O的切线；

（2）根据梯形和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S梯形OBCD﹣S扇形BOD进行计算即可．

（1）证明：连结OD，如图，

∵OA＝OD，∠DAB＝45°，

∴∠DAB＝∠ADO＝45°，∠AOD＝90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ODC＝∠AOD＝90°，

即OC⊥CD，

∴CD为⊙O的切线；

（2）∵AB＝2，

∴OB＝1，CD＝2，

∴阴影部分的面积＝S梯形OBCD﹣S扇形BOD

．