Question

如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．

（1）求直径AB的长．

（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer

（1）4；（2）3π﹣6；

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB=90°，然后在直角三角形ABC中利用边角关系、勾股定理来求直径AB的长度；

（2）连接OD．利用（1）中求得AB=4可以推知OA=OD=2；然后由角平分线的性质求得∠AOD=90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积=S扇形△AOD-S△AOD．

（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠B=30°，

∴AB=2AC，

∵AB2=AC2+BC2，

∴AB2=AB2+62，

∴AB=4．

（2）连接OD．

∵AB=4，

∴OA=OD=2，

∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，

∴∠ACD=45°，

∴∠AOD=2∠ACD=90°，

∴S△AOD=OA•OD=×2×2=6，

∴S扇形△AOD=•π•OD2=•π•（2）2=3π，

∴阴影部分的面积=S扇形△AOD-S△AOD=3π-6．