Question

如图，已知抛物线y＝x²﹣x﹣2与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上．若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标．

Answer

P点坐标为（，），（﹣，），（﹣，）．

【解析】

解方程x2﹣x﹣2=0得A（-1，0），B（4，0），易得C（0，-2），抛物线对称轴为直线x= ，讨论：当BC为边时，四边形BCQ1P1为平行四边形，利用平移得到P1点的横坐标为 ，则计算x=时的二次函数值得到P点坐标；当BC为边时，四边形BCP2Q2为平行四边形，利用平移得到P2点的横坐标，则计算x=-时对应的函数值得到此时P2点坐标；当BC为对角线时，四边形BQ3CP3为平行四边形，利用平移得到P3点的横坐标为，然后计算x=对应的函数值得到此时P3点坐标．

令y＝0，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

当x＝0时，y＝x2﹣x﹣2＝﹣2，则C（0，﹣2），

∴抛物线对称轴为直线x＝，

当BC为边时，四边形BCQ1P1为平行四边形，C点向右平移单位得到Q1点，则B点向右平移单位得到P1点，则P1点的横坐标为，

当x＝时，y＝x2﹣x﹣2＝×（）2﹣×﹣2＝，

此时P点坐标为（，）；

当BC为边时，四边形BCP2Q2为平行四边形，B点向左平移单位得到Q2点，则B点向左平移单位得到P2点，则P2点的横坐标为﹣，当x＝﹣时，y＝x2﹣x﹣2＝×（﹣）2﹣×（﹣）﹣2＝，此时P2点坐标为（﹣，）；

当BC为对角线时，四边形BQ3CP3为平行四边形，Q3点向左平移单位得到C点，则B点向左平移单位得到P3点，则P3点的横坐标为﹣，当x＝﹣时，y＝x2﹣x﹣2＝×（）2﹣×﹣2＝，此时P3点坐标为（﹣，）．

综上所述，P点坐标为（，），（﹣，），（﹣，）．