Question

在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC．

（2）如图2，若点F在线段CA的延长线上，∠DAF＝∠DBA，请判断线段AF与BE的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）AF＝BE，理由见解析.

【解析】

（1）由旋转的性质可得∠BAC=∠BAD，由垂直的性质可求∠ABC=45°=∠CAB，可得AC=CB；
（2）由“AAS“可证△AFD≌△BED，可得AF=BE．

（1）由旋转得，∠BAC＝∠BAD，

∵DF⊥AC，

∴∠CAD＝90°，

∴∠BAC＝∠BAD＝45°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝45°＝∠CAB，

∴AC＝CB；

（2）AF＝BE

理由如下：由旋转得，AD＝AB，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵∠DAF＝∠ABD，

∴∠DAF＝∠ADB，

∴AF∥BD，

∴∠BAC＝∠ABD

∵∠ABD＝∠FAD，

由旋转得，∠BAC＝∠BAD，

∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝×180°＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD＝BD，

在△AFD和△BED中，

∴△AFD≌△BED（AAS）

∴AF＝BE．