Question

如图，已知抛物线y＝x+2与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由．

（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）直角三角形，理由见解析；（2）存在，点P的坐标（﹣，0），（﹣，2+），（﹣，2﹣）．

【解析】

（1）由二次函数图象上点的坐标特征求得点A、B、C的坐标，易得△ABC三边的长度，由勾股定理逆定理可以判定△ABC是直角三角形；
（2）该题中没有指出等腰三角形的底边，所用需要分类讨论：以AP为腰和以AP为底边两种情况，根据两点间的距离公式列出方程，通过解方程求得符合条件点P的坐标即可．

（1）直角三角形，理由如下：

当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，解得，x1＝﹣4，x2＝1，

即B（﹣4，0），A（1，0）．

当x＝0时，y＝2，即C（0，2）．

AB＝1﹣（﹣4）＝5，AB2＝25，

AC2＝（1﹣0）2+（0﹣2）2＝5，

BC2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2＝20，

∵AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形；

（2）存在，理由如下：

y＝﹣x2﹣x+2的对称轴是x＝﹣，设P（﹣，n），

PA2＝（1+）2+n2＝+n2，PC2＝+（2﹣n）2，AC2＝5．

分类讨论：

①当AP＝AC时，AP2＝AC2，

+n2＝5，方程无解； 不存在．

②当PA＝PC时，PA2＝PC2，

+n2＝+（2﹣n）2，

解得，n＝0，即P1（﹣，0）；

③当CA＝CP时CA2＝CP2，+（2﹣n）2＝5，

解得，n1＝2+，n2＝2﹣，

故P2（﹣，2+），P3（﹣，2﹣）．

综上所述：使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（﹣，0），（﹣，2+），（﹣，2﹣）．