Question

如图，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G．

（1）求证：BF＝CG；

（2）若AB＝10，AC＝6，求线段CG的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）CG=2.

【解析】

本题需先连接EC、EB，根据AE是∠CAB的平分线，得出EG=EF，再根据ED垂直平分BC，得出Rt△CGE≌Rt△BFE，从而证出BF=CG;

本题根据AE是∠CAB的平分线，得出∠FAE=∠GAE，再根据EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，得出∠AFE=∠AGE ,即可证得△AFE≌△AGE ，从而得到AF=AG，

设BF=CG=x, AG=AF=y，组成二元一次方程组即可求解.

（1）连接EC、EB

AE是∠CAB的平分线，

EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，

EG=EF

点D是BC的中点，ED垂直BC

∴ED垂直平分BC，

EC=EB

Rt△CGE≌Rt△BFE（HL），

BF＝CG

(2)AE是∠CAB的平分线

∴∠FAE=∠GAE

∵EF⊥AB于点F，EG⊥AC

∴∠AFE=∠AGE=90°

在△AFE和△AGE中

,

∴△AFE≌△AGE（AAS）

∴AF=AG

设BF=CG=x, AG=AF=y

∴AB=AF+BF=x+y=10

AC=AG-CG=y-x=6

∴

解得

∴CG=BF=2.