Question

如图，▱ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F，以下结论：

①E为AB的中点；

②FC=4DF；

③S_△ECF=；

④当CE⊥BD时，△DFN是等腰三角形．

其中一定正确的是_____．

Answer

①③④

【解析】

由M、N是BD的三等分点，得到DN=NM=BM，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出△BEM∽△CDM，根据相似三角形的性质得到，于是得到BE=AB，故①正确；根据相似三角形的性质得到=，求得DF=BE，于是得到DF=AB=CD，求得CF=3DF，故②错误；根据已知条件得到S△BEM=S△EMN=S△CBE，求得=，于是得到S△ECF=，故③正确；根据线段垂直平分线的性质得到EB=EN，根据等腰三角形的性质得到∠ENB=∠EBN，等量代换得到∠CDN=∠DNF，求得△DFN是等腰三角形，故④正确．

【解析】
∵ƒM、N是BD的三等分点，

∴DN=NM=BM，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴△BEM∽△CDM，

∴，

∴BE=CD，

∴BE=AB，故①正确；

∵AB∥CD，

∴△DFN∽△BEN，

∴=，

∴DF=BE，

∴DF=AB=CD，

∴CF=3DF，故②错误；

∵BM=MN，CM=2EM，

∴△BEM=S△EMN=S△CBE，

∵BE=CD，CF=CD，

∴=，

∴S△EFC=S△CBE=S△MNE，

∴S△ECF=，故③正确；

∵BM=NM，EM⊥BD，

∴EB=EN，

∴∠ENB=∠EBN，

∵CD∥AB，

∴∠ABN=∠CDB，

∵∠DNF=∠BNE，

∴∠CDN=∠DNF，

∴△DFN是等腰三角形，故④正确；

故答案为①③④．