Question

如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G

（1）求证：△BDG∽△DEG；

（2）若EG•BG=4，求BE的长．

Answer

（1）证明见解析（2）4

【解析】

（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF．∴∠FDC=∠EBC．

∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC．∴∠FDC=∠EBE．

又∵∠DGE=∠DGE，∴△BDG∽△DEG．

（2）【解析】
∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°．

∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC．

∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°=∠BDF．∴BD=BF，

∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG．

∴∠DGB=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，即BG⊥DF．

∵BD=BF，∴DF=2DG．

∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，∴． ∴BG×EG=DG×DG=4．∴DG=2

∴BE=DF=2DG=4．

（1）根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根据相似三角形的判定推出即可．

（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根据相似求出DG的长，即可求出答案