Question

如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．

（1）求点P与点P′之间的距离；

（2）求∠APB的度数．

Answer

（1）6；（2）150°.

【解析】

（1）连结PP′，由旋转性质可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，根据∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°可得△APP′为等边三角形，即可证明PP′=AP=6；（2）利用勾股定理的逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，由（1）得∠APP′=60°，即可得答案.

（1）连接PP′，由题意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，

∵∠PAC+∠BAP＝∠BAC=60°，

∴∠PAP′＝∠P′AB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=60°．

∴△APP′为等边三角形，

所以PP′＝AP＝AP′＝6；

（2）∵PP′=6，BP=8，BP′=10，

∴PP′2+BP2＝BP′2，

∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°

∴∠APB＝∠BPP′+∠APP′=90°+60°＝150°．