Question

如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

Answer

（1）证明见解析；（2）S阴=4﹣．

【解析】

试题（1） 根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，证明 ,利用全等三角形“SAS”判定定理，证明 ，得到OD⊥CD，所以CF为⊙O的切线.

（2） 利用三角函数和角度的关系，计算出OA，OC的长度和∠DOA的度数，分别求出四边形OACD和扇形OAD的面积，相减即可得到阴影部分的面积.

试题解析：（1）证明：如图连接OD．

∵四边形OBEC是平行四边形，

∴OC∥BE，

∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠DOC=∠AOC，

在△COD和△COA中，

，

∴△COD≌△COA，

∴∠CAO=∠CDO=90°，

∴CF⊥OD，

∴CF是⊙O的切线．

（2）【解析】
∵∠F=30°，∠ODF=90°，

∴∠AOD=120°，

∵OD=OB，

∵∠DOC=∠AOC=60°，

∵EB=4，∴OD=2，CD=，

∴ .