Question

已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝20厘米，BC＝40厘米．点P、Q同时从点A出发，分别以2厘米/秒、4厘米/秒的速度由A→B→C→D→A的方向在矩形边上运动，只要Q点回到点A，运动全部停止．设运动时间为t秒．

（1）当点P运动在AB（含B点）上，点Q运动在BC（含B、C点）上时，

①设PQ的长为y，求y关于时间t的函数关系式，并写出t的取值范围？

②当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？

（2）在P、Q的整个运动过程中，分别判断下列两种情形是否存在？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

①PQ与BD平行；

②PQ与BD垂直．

Answer

（1）①y=（5≤t≤10）；②当t＝时，△DPQ为等腰三角形；（2）①当t＝18秒时，PQ与BD平行；②当t＝6秒或t＝25时，PQ与BD垂直．

【解析】

（1）①根据勾股定理计算斜边PQ的长，可得y关于时间t的函数关系式，因为点P运动在AB（含B点）上，所以0≤t≤10，因为点Q运动在BC（含B、C点）上，所以5≤t≤15，可得5≤t≤10；

②根据图形可知，只有DP＝DQ，根据勾股定理列方程得：，则，解方程可得结论；

（2）①根据平行线分线段成比例定理列比例式得：，则，解方程可得结论；

②存在两种情况：

当点P在AB上，点Q在BC上，如图2，此时PA＝2t，BP＝20﹣2t，BQ＝4t﹣20，由PQ⊥BD易证△PBQ∽△DAB，列比例式可得结论；

当点P在BC上，点Q在DA上，如图3，此时BP＝2t﹣20，PC＝60﹣2t，DQ＝4t﹣80，作辅助线，易证△PMQ∽△DAB，列比例式可得结论．

【解析】
（1）由题意可知：PA＝2t，BP＝20﹣2t，BQ＝4t﹣20

①在Rt△PBQ中，＝＝ （5≤t≤10）；

②由题意可知PQ的长明显小于DP与DQ的长，因此要使△DPQ为等腰三角形，只需满足DP＝DQ，

∴，

∴，

∴解得t＝（舍），t＝，

∴当t＝时，△DPQ为等腰三角形；

（2）①由题意知PQ与BD平行，只能点P在BC上，点Q在DC上，如图1，此时BP＝2t﹣20，DQ＝80﹣4t，

∵PQ∥BD，

∴，

∴，

∴解得t＝18，

∴当t＝18秒时，PQ与BD平行；

②由题意知PQ与BD垂直，有两种可能，

当点P在AB上，点Q在BC上，如图2，此时PA＝2t，BP＝20﹣2t，BQ＝4t﹣20，

由PQ⊥BD易证△PBQ∽△DAB，

∴，

∴，

解得t＝6，

当点P在BC上，点Q在DA上，如图3，此时BP＝2t﹣20，PC＝60﹣2t，DQ＝4t﹣80，

过点P作PM⊥AD，交AD于M点，QM＝DQ﹣PC＝6t﹣140，

由PQ⊥BD易证△PMQ∽△DAB，

∴，

∴，

解得t＝25，

所以当t＝6秒或t＝25时，PQ与BD垂直．