Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC边相切于点D，连结AD. 

（1）求证：AD是∠BAC的平分线；    

（2）若AC= 3，BC=4，求⊙O的半径.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

试题

（1）连接OD，由⊙O与BC边相切于点D可得∠ODB=∠C=90°，从而可得OD∥AC，由此即可得到∠CAD=∠ADO，由OD=OA可得∠DAO=∠ODA，即可得到∠CAD=∠DAO，从而得到AD是∠BAC的角平分线；

（2）在Rt△ABC中，由AC=3，BC=4易得AB=5，由tanB=，设OD=3x，则BD=4x，由此在Rt△OBD中可得OB=5x，结合OA=OD=3x可得AB=8x=5，解得x=，即可得到⊙O的半径为：.

试题

（1）如图，连接OD，

∵⊙O与BC边相切于点D，

∴∠ODB=∠C=90°，

∴OD∥AC，

∴∠CAD=∠ADO，

∵OD=OA，

∴∠DAO=∠ODA，

∴∠CAD=∠DAO，

∴AD是∠BAC的角平分线；

（2）∵在Rt△ABC中，由AC=3，BC=4，

∴AB=，

∵tanB=，

∴可设OD=3x，则BD=4x，

∴OB=，

又∵OA=OD=3x，

∴AB=3x+5x=8x=5，解得：x=，

∴⊙O的半径OD=3x=.